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一、复杂度分析

1.1 时间复杂度

时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

1.1.1 时间复杂度分析有哪些特点？

• 时间复杂度能够有效评估算法效率。输入的数据越大，时间复杂度更优的算法，效率更高。
• 时间复杂度的推算方法更简便。可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”
• 时间复杂度也存在一定的局限性。时间复杂度不能等同于实际运行时间差别很大，在实际情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

1.1.2 计算方法：

• 第一步：统计操作数量——操作数量 T(n) 中的各种系数、常数项都可以忽略，循环嵌套时使用乘法。

• 第二步：判断渐近上界——时间复杂度由 T(n) 中最高阶的项来决定。这是因为在 n 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。

  

  函数渐近上界：

  

1.1.3 常见类型的时间复杂度：

1. 即使操作数量 size 可能很大，操作数量与输入数据大小 n 无关，时间复杂度仍为 常数阶O(1)
2. 操作数量相对于输入数据大小 n 以线性级别增长 线性阶 O(n)；比如遍历数组和遍历链表等操作
3. O(n²) 平方阶通常出现在嵌套循环中。比如冒泡
4. 生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子，时间复杂度为 指数阶O(2ⁿ) 。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。
5. 与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。时间复杂度为 O(log₂⁡n) ，简记为 O(log⁡n)

1.1.4 最差、最佳、平均时间复杂度

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。同样的一个算法会根据输入的数据不同，而体现不同的运算效率。

• 输入最适合的数据时，达到最佳时间复杂度 Ω(1) 。
• 输入的数据最差时，达到最差时间复杂度 O(n) 。

值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 Θ 记号来表示。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

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1.2 空间复杂度

1.2.1 算法相关空间

• 输入空间：用于存储算法的输入数据。
• 暂存空间：用于存储算法在运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
  • 暂存数据：用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
  • 栈帧空间：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
  • 指令空间：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。
• 输出空间：用于存储算法的输出数据。

/* 类 */
class Node {int val;Node next;Node(int x) { val = x; }
}/* 函数 */
int function() {// 执行某些操作...return 0;
}int algorithm(int n) {        // 输入数据final int a = 0;          // 暂存数据（常量）int b = 0;                // 暂存数据（变量）Node node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）int c = function();       // 栈帧空间（调用函数）return a + b + c;         // 输出数据
}

一般情况下，空间复杂度的统计范围是“暂存空间”加上“输出空间”。所以在分析一段程序的空间复杂度时，我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分

1.2.2 推算方法

空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。

而与时间复杂度不同的是，我们通常只关注最差空间复杂度。“最差”有两层含义。

• 以最差输入数据为准
• 以算法运行中的峰值内存为准

在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。

• 循环loop()的时间复杂度为 O(n) ，空间复杂度 O(1)
• 递归函数 recur() 虽然时间复杂度为 O(n) ，但在运行过程中会同时存在 n 个未返回的 结果recur() ，从而占用 O(n) 的栈帧空间。

1.2.3 常见的类型

1. 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
2. 循环中的变量和函数占用 O(1) 空间
3. 递归中的变量和函数占用 O(n) 空间
4. 长度为 n 的数组/列表/哈希表占用 O(n) 空间
5. 矩阵、二维列表占用 O(n²) 空间
6. 层数为 n 的“满二叉树”的节点数量为 2n−1 ，占用 O(2n) 空间：
7. 常用于分治算法，占用O(log⁡n) 的栈帧空间，